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線性代數基本性質

線性代數基本性質.

在這裡我們僅簡單回顧什麼是 vector space, basis 以及 dimension. 我們不給這些基本性質的証明, 若不清楚的同學請參考一般有關線性代數的書籍.

 

 

Definition 9.3.1   令 F 是一個 field. 我們說 V 是一個 vector space over F, 如果 V 本身元素間有加法 ``+'' 運算, 而且對任意 c $ in$ F, v $ in$ V 皆有 < !-- MATH $ccdot vin V$ -->c . v $ in$ V, 且滿足:
(VS1)
V 在加法之下是一個 abelian group.
(VS2)
對所有的 c $ in$ F 以及 < !-- MATH $v_1,v_2in V$ -->v1, v2 $ in$ V 皆有 < !-- MATH $ccdot(v_1+v_2)=ccdot v_1+ccdot v_2$ -->c . (v1 + v2) = c . v1 + c . v2.
3)
對所有 < !-- MATH $c_1,c_2in F$ -->c1, c2 $ in$ F 以及 v $ in$ V 皆有 < !-- MATH $(c_1+c_2)cdot v=c_1cdot v+c_2cdot v$ -->(c1 + c2) . v = c1 . v + c2 . v 且 < !-- MATH $c_1cdot(c_2cdot v)=(c_1cdot c_2)cdot v.$ -->c1 . (c2 . v) = (c1 . c2) . v.
/strong>
對任意 v $ in$ V 皆有 < !-- MATH $1cdot v=v$ -->1 . v = v, 其中 1 $ in$ FF 乘法的 identity.

 

這裡要注意一般 vector space 的定義裡並沒有要求 < !-- MATH $Fsubseteq V$ -->F $ subseteq$ V, 也沒有要求 V 的元素間有乘法運算. 不過將來我們討論 field 的性質時所碰到的 vector space 都會額?nbsp;有 < !-- MATH $Fsubseteq V$ -->F $ subseteq$ V 以及 V 的元素間有乘法運算這兩種特性. 也就是這兩種特性使得 field 的性質比一般的 vector space 強得多.

 

 

Definition 9.3.2   假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F, 如果 < !-- MATH $v_1,dots,v_nin V$ -->v1,..., vn $ in$ V 滿足對任意 v $ in$ F 皆存在 < !-- MATH $c_1,dots,c_nin F$ -->c1,..., cn $ in$ F 使得 < !-- MATH begin{displaymath} v=c_1cdot v_1+cdots+c_ncdot v_n, end{displaymath} -->

 

v = c1 . v1 + ... + cn . vn,

 

則稱 < !-- MATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vn span V over F.

如果一個 vector space 存在一組 < !-- MATH $v_1,dots,v_nin V$ -->v1,..., vn $ in$ V span V over F, 則我們稱 V 是一個 finite dimensional vector space over F.

bsp;

 

ATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vn span V over F, 當然也有可能有另一組 < !-- MATH $w_1,dots, w_min V$ -->w1,..., wm $ in$ V 也 span V over F. 我們當然希望能找到一組元素最少的 < !-- MATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vn 可以 span V over F. 要達到這一點 < !-- MATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vn 之間至少要沒有線性關係, 要不然其中的某個 vi 可以被其他的 vj 展成, 我們就可以找到更少的元素 span V 了. 因此我們有以下的定義.

 

 

Definition 9.3.3   假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F, 如果對於 V 中的一組元素 < !-- MATH $v_1,dots,v_nin V$ -->v1,..., vn $ in$ V 我們都找不到不全為 0 的 < !-- MATH $c_1,dots,c_nin F$ -->c1,..., cn $ in$ F 使得 < !-- MATH begin{displaymath} c_1cdot v_1+cdots+c_ncdot v_n=0, end{displaymath} -->

 

c1 . v1 + ... + cn . vn = 0,

 

則稱這組 < !-- MATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vnlinearly independent over F.

如果 < !-- MATH $v_1,dots,v_nin F$ -->v1,..., vn $ in$ F span V 且是 linearly independent over F, 則稱 < !-- MATH $v_1,dots,v_n$ -->v1,..., vn 是一組 basis of V over F.

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